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Os 4 primos riscados no osso de Ishango

Achado em 1950 na fronteira do Congo com Uganda, o osso de babuíno tem cerca de 20 mil anos e três colunas de riscos sem leitura fechada

O osso de Ishango, guardado em Bruxelas

FICHA DO ARQUIVO

Caso: o osso de Ishango.

Local: lago Eduardo, Congo.

Anomalia: quatro primos em fila.

Os números 11, 13, 17 e 19 são os únicos primos entre 10 e 20. A definição de número primo só aparece escrita nos Elementos, o tratado que o matemático grego Euclides compôs em Alexandria cerca de 300 anos antes de Cristo.

Um osso de babuíno guardado em Bruxelas traz os quatro em fila, riscados à mão mais de dezessete mil anos antes do tratado grego.

A peça mede cerca de dez centímetros e cabe na palma da mão. É escura, gasta pelo manuseio, com um caco de quartzo encaixado numa das pontas.

Os riscos correm em três colunas paralelas. Numa delas, os traços vêm em grupos: onze, depois treze, depois dezessete, depois dezenove. Somados, dão 60.

Outra coluna chega ao mesmo total com grupos diferentes, 11, 21, 19 e 9. A terceira soma 48 e traz grupos que parecem dobrar: 3 e 6, 4 e 8, 10 e 5.

Quem riscou sabia parar no traço certo. Um risco a mais ou a menos em qualquer grupo, e a série de primos desaparece.

O osso, porém, não traz legenda. Ninguém deixou escrito se os grupos marcavam noites entre duas luas cheias, peixes pescados, dias de viagem ou um jogo com quantidades.

Cada leitura proposta desde os anos 1960 parte das mesmas marcas e chega a uma conclusão diferente. Nenhuma conseguiu derrubar as outras, e os especialistas seguem divididos entre o calendário e a tabela de contas.

Na mesma camada apareceu um segundo osso gravado, que de Heinzelin estudou e não publicou. O primeiro ficou sozinho no centro de uma discussão que junta arqueólogos, matemáticos e astrônomos amadores, e os três grupos puxam os riscos para lados diferentes.

A disputa começa na margem de um lago africano, com o geólogo belga que tirou a peça da terra e a idade que ela ganhou décadas depois.

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I  O Registro

A margem do lago Eduardo

A PEÇA O osso de Ishango, fíbula de babuíno com três colunas de riscos e um caco de quartzo na ponta, guardado em Bruxelas. Foto: Joeykentin, Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Em 1950, o geólogo belga Jean de Heinzelin de Braucourt escavava em Ishango, um povoado onde o lago Eduardo deságua no rio Semliki, na fronteira do então Congo Belga com Uganda. Ali encontrou o osso de Ishango, entre espinhas de peixe, arpões de osso e lascas de pedra.

Um acampamento de pescadores

As camadas escavadas guardavam um acampamento antigo à beira da água. Os moradores comiam peixe do lago, caçavam bichos da margem e fabricavam arpões farpados de osso, a ferramenta mais comum do sítio.

O osso gravado é uma fíbula (o osso fino da perna) de babuíno, segundo a descrição do Instituto Real Belga de Ciências Naturais, que guarda a peça em Bruxelas. O quartzo preso na ponta fez de Heinzelin pensar num cabo de ferramenta para gravar ou cortar. A peça seguiu para Bruxelas com o material da escavação e hoje fica exposta no museu do instituto.

A idade que dobrou

Os primeiros cálculos de de Heinzelin, feitos pela geologia das camadas do lago, deram ao acampamento algo entre oito e onze mil anos.

Em 1987, a arqueóloga americana Alison Brooks e Catherine Smith publicaram na revista African Archaeological Review novas datas para Ishango. O acampamento recuou para cerca de vinte mil anos, e o osso recuou junto.

As três colunas

De Heinzelin publicou a leitura das marcas em 1962, num artigo da revista Scientific American intitulado Ishango. Ele separou os riscos em três colunas e contou os grupos de riscos:

• Coluna dos primos: 11, 13, 17 e 19, soma 60.

• Coluna das dobras: 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 e 7, soma 48.

• Coluna dos vizinhos do dez: 11, 21, 19 e 9, soma 60.

Na coluna dos vizinhos do dez, os grupos seguem um padrão próprio: 11 é dez mais um, 21 é vinte mais um, 19 é vinte menos um e 9 é dez menos um.

Na coluna das dobras, os pares 3 e 6, 4 e 8, 10 e 5 parecem mostrar uma quantidade e o dobro dela, ou a metade. De Heinzelin viu ali uma operação de multiplicar por dois.

Somados, os riscos das três colunas chegam a 168. O número entra nas três leituras que vieram depois, e cada uma o usa de um jeito.

II  A Pergunta em Aberto

Seis luas ou cinco dúzias

A pergunta do osso de Ishango separa quem o estudou em três leituras. A primeira veio do próprio de Heinzelin: a peça seria um jogo aritmético, feito por gente que já sabia dobrar, somar e reconhecer números sem divisor.

A leitura aritmética

Para de Heinzelin, os primos em fila e as duas somas iguais a 60 não podiam ser acaso. No artigo de 1962, ele chegou a sugerir que a ideia de contar teria descido de Ishango até o vale do Nilo, hipótese que nenhum achado posterior sustentou.

A dificuldade dessa leitura é o salto que ela pede. Reconhecer um primo exige a noção de divisão, e nenhum outro objeto da mesma idade mostra sinal dela.

A leitura lunar

Em 1972, o pesquisador americano Alexander Marshack publicou o livro The Roots of Civilization (As raízes da civilização). Com lupa e microscópio, ele examinou os riscos e defendeu que saíram de pontas diferentes, em momentos diferentes.

Marshack vinha de anos estudando marcas em ossos e pedras da Europa da Idade do Gelo, e leu o objeto africano com o mesmo método: procurar ritmo de tempo, não aritmética.

Para Marshack, os grupos acompanhavam as fases da Lua. Os 168 riscos cobririam perto de seis meses lunares, cada um com 29 ou 30 noites, um registro do céu feito noite após noite.

A leitura lunar resolve o salto da divisão: marcar noites não exige saber o que é primo. Em troca, ela precisa de um registro feito em várias sessões, e a prova dessas sessões depende do exame dos sulcos.

A leitura da base doze

Em 1999, o engenheiro belga Vladimir Pletser e o matemático Dirk Huylebrouck publicaram na revista Forma uma terceira conta. Para eles, as marcas seguem uma base 12 (contagem em grupos de doze, como a dúzia), com subdivisões em 3 e 4.

A leitura deles explica as somas pelo próprio doze: 60 são cinco dúzias e 48 são quatro dúzias. Os pares da coluna das dobras caberiam na mesma lógica de dividir em partes iguais.

As três leituras usam os mesmos riscos. Muda a pergunta feita ao osso: se ele conta objetos, se marca o tempo ou se organiza quantidades em grupos fixos.

III  O Que Falta Provar

Uma chance em cinco

O primeiro obstáculo para qualquer prova é a amostra. O osso de Ishango é a única peça conhecida com colunas tão ordenadas, e uma peça só não separa intenção de coincidência.

O acaso dos primos

Entre 10 e 20 existem cinco números ímpares: 11, 13, 15, 17 e 19. Quatro deles são primos. Só o 15 fica de fora.

Quem gravasse quatro grupos ímpares diferentes nessa faixa teria cinco combinações possíveis. Só uma delas reúne os quatro primos, uma chance em cinco de chegar à coluna famosa sem saber o que é primo.

A conta não prova o acaso. Ela mostra que a coluna pede menos sorte do que parece, desde que o gravador preferisse ímpares. Por que preferiria, nenhuma das três leituras explica sem esforço, e o osso não dá pista.

Uma explicação simples para a coluna dos vizinhos do dez seria a contagem pelos dedos das mãos e dos pés, perto de 10 e de 20. Nenhum dos três estudos testou essa hipótese, que segue sem prova a favor ou contra.

O osso de Lebombo

O paralelo mais citado vem das montanhas Lebombo, entre a África do Sul e Essuatíni. Ali apareceu uma fíbula de babuíno com 29 riscos, mais antiga que a de Ishango.

Vinte e nove é o número de noites de uma lua, e os defensores da leitura lunar usam a peça como apoio. Os críticos lembram que um único bastão com 29 marcas também pode ser uma contagem qualquer que parou ali.

O que uma prova exigiria

1. Escanear os sulcos em alta resolução para saber se saíram da mesma ponta de quartzo e na mesma sessão, o teste direto da tese de Marshack.

2. Comparar o osso com outros ossos gravados da mesma época na África Central, para ver se colunas e somas se repetem.

3. Datar de novo a camada exata onde a peça estava, já que a idade dela mudou uma vez e pode mudar outra.

Nenhum dos três testes pede escavação nova: o osso, o registro da camada e as coleções de comparação já estão em museus.

Ficam duas maneiras de ler a coluna dos primos. Um pescador do lago Eduardo marcando noites até a lua cheia, sem ideia nenhuma de número primo, ou um contador que já sabia dobrar e separar números sem divisor, dezessete mil anos antes de Euclides. As duas leituras estão acima, e o osso não escolhe por você.

Amanhã, abrimos outro. Mysterium manet.

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